Question

已知拋物線L：

（1）證明：不論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線上；

    （2）已知時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B，求A、B間距取得最大值時k的值；

（3）在（2）A、B間距取得最大值條件下（點A在點B的右側(cè)），直線y=ax+b是經(jīng)過點A，且與拋物線L相交于點D的直線. 問是否存在點D，使△ABD為等邊三角形，如果存在，請寫出此時直線AD的解析式；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）見解析（2）2（3）存在，理由見解析

解析:（1）拋物線L的頂點坐標C是（，）……2分

將頂點坐標C代入

左邊=

右邊==  

左邊=右邊

所以無論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線上. ……3分

（2）已知時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B

設，，

依題意    ……5分

由此可知，當k=-2時，AB達到最大值，

而k=-2恰好在內(nèi)，

所以A、B間距取得最大值時k的值為2   ……8分

(3)存在。        ……9分

因為若△ABD是等邊三角形，則點D應在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對稱軸上。又因為點D在拋物線上，所以若滿足條件的D存在，點D應是此拋物線的頂點..

 

當k=-2時，拋物線L為  ，頂點D（-2，-3）

解方程，得，

所以（），（）

如圖，在△ABD中，DB=DA

D為AB中點， AB=，

∴AD=，

∴∠BAD=60°

∴△ABD為等邊三角形    ……12分

因為直線在（）、D（）D，所以依題意

把k=2代入

解得，

所以所求為……14分

（2）方法二：設，，

由根與系數(shù)關系，得，  ……6分

[來源:學,科,網(wǎng)Z,X,X,K]

 

由此可知，當k=-2時，AB達到最大值，

而k=-2恰好在內(nèi)，

所以A、B間距取得最大值時k的值為2   ……8分

（1）利用頂點坐標求證

（2）設，，求出AB 的長，從而求出k的值

（3）因為若△ABD是等邊三角形，則點D應在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對稱軸上。又因為點D在拋物線上，所以若滿足條件的D存在，點D應是此拋物線的頂點，通過AB的長求出AD的長，通過（）、D（），求出直線AD的解析式