Question

4．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從A向C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒．
（1）在運(yùn)動過程中，求P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值；
（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時的t值；若不存在，請說明理由（$\sqrt{5}$≈2.24，結(jié)果保留一位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式$\frac{AQ}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{QE}{BC}$，求得PE=$\frac{3}{5}t$，QE=$\frac{6}{5}t$，根據(jù)勾股定理得到PQ²=QE²+PE²，求出PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，當(dāng)Q與B重合時，PQ的值最大，于是得到當(dāng)t=5時，PQ的最大值=3$\sqrt{5}$；
（2）由三角形的面積公式即可求得；
（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，分三種情況①當(dāng)CQ=CP時，②當(dāng)PQ=CQ時，③當(dāng)PQ=PC時，列方程求解即可．

解答 解：（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，
∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{QE}{BC}$，
∵AQ=2t，AP=t，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴$\frac{2t}{10}=\frac{t+PE}{8}=\frac{QE}{6}$，
∴PE=$\frac{3}{5}t$，QE=$\frac{6}{5}t$，
∴PQ²=QE²+PE²，
∴PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，
當(dāng)Q與B重合時，PQ的值最大，
∴當(dāng)t=5時，PQ的最大值=3$\sqrt{5}$；

（2）如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積=S_△AQP，
當(dāng)Q在AB邊上時，S=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$t•$\frac{6}{5}t$=${\frac{3}{5}t}^{2}$，（0＜t≤5）
當(dāng)Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積=S_{四邊形ABQP}，
∴S_{四邊形ABQP}=S_△ABC-S_△PQC=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$（8-t）•（16-2t）=-t²+16t-40，（5＜t≤8）；
∴經(jīng)過t秒的運(yùn)動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}{t}^{2}（0＜t≤5）}\\{-{t}^{2}+16t-40（5＜t≤8）}\end{array}\right.$．

（3）存在．
當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上時，如圖2，連接CQ，PQ，
由（1）知QE=$\frac{6}{5}t$，CE=AC-AE=8-$\frac{8}{5}t$，PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，
∴CQ=$\sqrt{{QE}^{2}{+CE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{6}{5}t）}^{2}{+（8-\frac{8}{5}t）}^{2}}$=$\sqrt{{4t}^{2}-\frac{128}{5}t+64}$=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，
①當(dāng)CQ=CP時，
即：2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$=8-t，
解得；t=$\frac{16}{5}$，
②當(dāng)PQ=CQ時，
即；$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，
解得：t=$\frac{40}{11}$，t=8（不合題意舍去），
③當(dāng)PQ=PC時，
即$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t=8-t，
解得：t≈3.4；
當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上時，
∵∠ACB=90°，
∴△PQC是等腰直角三角形，
∴CQ=CP，
∴8-t=16-2t，
∴t=8，∴P，Q，C重合，不合題意，
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{16}{5}$，t=$\frac{40}{11}$，t=3.4時，△PQC為等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了動點(diǎn)問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，特別是（3）要分類討論，不要漏解．