Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=9，點P是邊CD上的動點（點P不與點C、點D重合），過點P作直線PQ∥AC，交AD邊于點Q，再把△DPQ沿著動直線PQ對折，點D的對應(yīng)點是點E，設(shè)DP的長度為x，△EPQ與矩形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求∠DQP的度數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時，點E落在矩形ABCD的邊BC上？
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用PQ∥AC，Rt△ADC中，tan∠DAC=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

，從而求出角度，
（2）由折疊得△DPQ≌△EPQ，PE=x，PC=

1

2

PE=

1

2

x，再求出x，
（3）利用三角形面積之間的關(guān)系求出．

解答：解：（1）∵PQ∥AC，
∴∠DQP=∠DAC，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=3

3

，AD=BC=9，∠D=90°，
Rt△ADC中，tan∠DAC=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴∠DQP=30°；

（2）如圖，由折疊得△DPQ≌△EPQ，
∴∠DPQ=∠EPQ，PD=PE=x，
∵∠DQP=30°，∠D=90°，
∴∠DPQ=∠EPQ=60°，
∴∠EPC=60°，
Rt△PEC中，PE=x，∠EPC=60°，
∴PC=

1

2

PE=

1

2

x，
∴

1

2

x+x=3

3

，
∴x=2

3

，
∴當(dāng)x=2

3

時，點E落在矩形ABCD的邊BC上；

（3）當(dāng)0＜x≤2

3

時，點E落在矩形ABCD的內(nèi)部或BC邊上，
△EPQ與矩形ABCD重疊部分為△EPQ，
∴y=S_△EPQ=S_△DPQ=

1

2

DP×DQ=

1

2

x×

3

x=

3

2

x2，
當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時，點E落在矩形ABCD的外部，
∵PC=3

3

-x，
∴PN=6

3

-2x，EN=x-6

3

+2x=3x-6

3

，EM=

3

x-6，
∴y=S_△EPQ-S_△EMN=

3

2

x2-

1

2

×EM×EN，
=

3

2

x2-

1

2

×(3x-6

3

)(

3

x-6)，
（0＜x≤2

3

）（2

3

＜x＜3

3

），
=-

3

x2+18x-18

3

，
∴y=

3 2 x2 - 3 x2+18x-18 3

．

點評：此題主要考查了圖形的折疊問題，以及三角函數(shù)值問題和求函數(shù)解析式問題，綜合性較強．