Question

如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K．

1.（1）觀察：①如圖2、圖3，當(dāng)∠CDF=0°或60°時(shí)，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如圖4，當(dāng)∠CDF=30°時(shí)，AM+CK______MK（只填“＞”或“＜”）；

2.（2）猜想：如圖1，當(dāng)0°＜∠CDF＜60°時(shí)，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”），并說明理由；

3.（3）如果MK²+CK²=AM²，請(qǐng)直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值．

 

Answer 1

 

1.（1）① =  ………………………………………………………………………2分

② ＞  ………………

2.（2）

＞………………………………………………………………………………………2分

理由：作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，

連接GK，GM，GD，

則CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，

∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=CD=GD．

∵30°，∴∠CDA=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，

∠ADM+∠CDK =60°．

∴∠ADM=∠GDM，………………………………………………………………………3分

∵DM=DM，

∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．

∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．………………

3.由（2），得GM=AM，GK=CK，

∵M(jìn)K²+CK²=AM²，∴MK²+GK²=GM²，∴∠GKM=90°，

又∵點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，

又有（1），得∠A=∠ACD=30°，∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，

在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，

∴ =∴=

解析:略