Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(－3，0)、(0，3)．

(1)一次函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)P、0在直線AB的同側(cè)，且直線PQ與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于3，若△PAB與△QAB的面積都等于3，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，其頂點(diǎn)C在x軸的上方且在直線PQ上，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(3)若使(2)中所確定的拋物線的開(kāi)口方向不變，頂點(diǎn)C在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(見(jiàn)模答圖) 　　(1)由已知不妨設(shè)直線PQ與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為P、Q，連結(jié)PB、QA． 　　∵S△QAB＝3， 　　即BQ·AO＝3． 　　而AO＝3，可求得BQ＝2． 　　∵直線PQ與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于3， 　　∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，5)． 　　同樣可求得PA＝2． 　　∵P、Q兩點(diǎn)在直線AB的同側(cè)， 　　∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5，0)． 　　設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx＋b，則有 　　 　　解得 　　因此所求一次函數(shù)的解析式為 　　y＝x＋5． 　　(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為 　　y＝ax2＋bx＋c． 　　∵二次函數(shù)的圖像過(guò)A(－3，0)，B(0，3)兩點(diǎn)， 　　∴ 　　將②代入①，解得 　　b＝3a＋1． 　　于是二次函數(shù)的解析式為 　　y＝ax2＋(3a＋1)x＋3． 　　其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　　(－，)． 　　∵點(diǎn)C在直線y＝x＋5上， 　　∴＝－＋5． 　　整理得9a2＋8a－1＝0． 　　解這個(gè)方程，得 　　a1＝，a2＝－1． 　　經(jīng)檢驗(yàn)，a1＝，a2＝－1都是原方程的根． 　　但拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的上方，且過(guò)A、B兩點(diǎn)，所以拋物線開(kāi)口向下，因此將a＝舍去，取a＝－1．∴b＝－2． 　　∴所求二次函數(shù)的解析式為 　　 y＝－x2－2x＋3． 　　(3)[方法一] 　　設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．由于在直線y＝x＋5上，可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m＋5，即點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，m＋5)，則運(yùn)動(dòng)后以為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為 　　y＝－(x－m)2＋m＋5． 　　設(shè)運(yùn)動(dòng)后的拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0．由已知，有 　　x0＝m＋3． 　　即拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(m＋3，0)． 　　∴0＝－(m＋3－m)2＋m＋5． 　　解得m＝4． 　　∴m＋5＝9． 　　于是點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，9)． 　　[方法二] 　　同方法一求得以為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為 　　y＝－(x－m)2＋m＋5， 　　即　　y＝－x2＋2mx－m2＋m＋5． 　　設(shè)這條拋物線與x軸的交點(diǎn)為(x1，0)、(x2，0)． 　　∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－5． 　　由已知|x1－x2|＝6， 　　則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36． 　　即(2m)2－4(m2－m－5)＝36． 　　解得m＝4． 　　∴m＋5＝9． 　　于是點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，9)．