Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=

3

5

，過(guò)點(diǎn)C在∠BCD的內(nèi)部作射線交射線BA于點(diǎn)E，使得∠DCE=∠B．

（1）如圖1，當(dāng)ABCD為等腰梯形時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖2），求AB的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△BCE為直角三角形時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，AH⊥BC于點(diǎn)H，AD=1，BC=2，sinB=

3

5

，得到AM=AB，BH=HM=

1

2

，結(jié)合三角函數(shù)的定義可以求得AB的長(zhǎng)．
（2））由AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，又∵∠DCE=∠B，∴△ADC∽△CAB，得到AC²=AD•BC，求得AC的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理，即可構(gòu)造出關(guān)于AB的方程，解方程即可求得相應(yīng)的AB的長(zhǎng)度．
（3）分兩種情況來(lái)討論：如圖3-1，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，作AH⊥BC，則HC=AD=1，∴BH=BC-HC=2-1=1，由sinB即可求得cosB的值，繼而求得AB的長(zhǎng)度；如圖3-2，當(dāng)BC⊥CE時(shí)，延長(zhǎng)DA交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由△FDC∽△CEB，可以得到AE的長(zhǎng)度，繼而求得AB的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）如圖1，作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵AD∥BC，∴AMCD為平行四邊形，
∴AM=DC，MC=AD=1，
∴BM=BC-MC=2-1=1，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=

1

2

BM=

1

2

在直角三角形ABH中，
∵sinB=

AH

AB

=

3

5

，
∴cosB=

BH

AB

，∵

BH

AB

=

4

5

，∴AB=

5

8

．

（2）如圖2，∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DCE=∠B，
∴△ADC∽△CAB，
∴

AD

AC

=

AC

BC

，
∴AC²=AD•BC=2，
作AF⊥BC于點(diǎn)F，
設(shè)AB=x，∵sinB=

AH

AB

，
∴AF=

3

5

x，BF=

4

5

x，
∴CF=2-

4

5

x，
在直角三角形AFC中，AF²+CF²=AC²，即：(

3

5

x)2+(2-

4

5

x)2=2，
∴x=

8± 14

5

，
即當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)，AB=

8+ 14

5

，或者AB=

8- 14

5

．

（3）∵△BCE為直角三角形，
∴BE⊥CE或BC⊥CE，
情況一，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，如圖3-1，
∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，
∴∠DCE+∠BCE=90°，
作AH⊥BC，則HC=AD=1，
∴BH=BC-HC=2-1=1，
又由sinB=

3

5

可得，cosB=

BH

AB

=

1

AB

=

4

5

，
解得：AB=

5

4

．

情況二，當(dāng)BC⊥CE時(shí)，如圖3-2，
延長(zhǎng)DA交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)AE=a，則AF=

4

5

a，EF=

3

5

a，
在直角三角形BCE中，
∵BC=2，sinB=

3

5

，
∴BE=

5

2

，EC=

3

2

，
∵AD∥BC，BC⊥CE，
∴AD⊥EC，
又∵∠DCE=∠B，
∴△FDC∽△CEB，
∴

DF

CE

=

FC

BC

，即：DF•BC=FC•CE，
∴2×(1+

4

5

a)=

3

2

×(

3

2

+

3

5

a)，
∴a=

5

14

．
∴AB=

5

14

+

5

2

=

20

7

∴當(dāng)△BCE為直角三角形時(shí)，AB=

5

4

，或者AB=

20

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)用分類討論和類比的思想解決問(wèn)題．