Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，圓心角∠AOC=60°，點D是

AC

的中點，點P是直徑AB上的一個動點，則PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：作點C關(guān)于AB的對稱點C′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接C′D，C′D與AB的交點即為使PC+PD的值最小的點，此時PC+PD=C′D，連接OC′、OD，求出∠C′OD=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍解答．

解答：解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D，
則C′D與AB的交點即為使PC+PD的值最小的點，此時PC+PD=C′D，
連接OC′、OD，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOC′=60°，
∵點D是

AC

的中點，
∴∠AOD=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠C′OD=30°+60°=90°，
∴△C′OD是等腰直角三角形，
∵直徑AB=10，
∴半徑OD=

1

2

×10=5，
∴C′D=

2

OD=5

2

，
即PC+PD的最小值是5

2

．
故答案為：5

2

．

點評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并確定出點P的位置是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形．