Question

如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC邊的同側作等邊△DBA，△EBC，△FAC．
（1）試說明四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是矩形，說明理由；
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是正方形？
（4）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED不存在？

Answer 1

考點：正方形的判定,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）由△DBA，△EBC，△FAC都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得出AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，那么∠DBE=∠ABC．利用SAS證明△DBE≌△ABC，根據(jù)全等三角形對應邊相等得出DE=AC，等量代換得到DE=AF，同理DA=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．可先根據(jù)周角的定義求出∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=90°，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形AFED是矩形；
（3）當△ABC是頂角為150°的等腰三角形時，四邊形ADEF是正方形．根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形AFED是正方形；
（4）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．

解答：解：（1）∵△ABD，△BCE，△FAC是等邊三角形，
∴AB=DB，BC=BE，AC=AF，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BAC中，

DB=AB ∠DBE=∠ABC BE=BC

，
∴△DBE≌ABC（SAS），
∴DE=AC，
∴DE=AF．
同理可得DA=EF，
∴四邊形AFED是平行四邊形；

（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．理由如下：
∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=360°-60°-150°-60°=90°，
∴?AFED是矩形；

（3）當△ABC是頂角為150°的等腰三角形時，四邊形ADEF是正方形．理由如下：
由（2）可知，當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形，
∵AB=AC，
∴矩形AFED是正方形；

（4）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，
此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形、矩形、正方形的判定等知識，熟練掌握相關的定理是解題關鍵．