Question

已知拋物線y=-x²+ax+

1

2

，直線y=2x
（1）求證：拋物線與直線相交；
（2）求檔拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時，a的取值范圍；
（3）當(dāng)a在（2）的取值范圍內(nèi)時，求拋物線截直線所得弦長的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用根的判別式證明；
（2）把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式解析式，然后根據(jù)拋物線頂點(diǎn)在直線下方列出不等式，然后求解即可；
（3）求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差值，然后解直角三角形表示出弦長，再利用二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答：解：（1）由題意得，-x²+ax+

1

2

=2x，
整理得，x²+（2-a）x-

1

2

=0，
△=b²-4ac=（2-a）²-4×1×（-

1

2

）=（2-a）²+2≥2，
所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，拋物線與直線相交；

（2）∵y=-x²+ax+

1

2

=-（x-

a

2

）²+

a2

4

+

1

2

，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

a

2

，

a2

4

+

1

2

），
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方，
∴

a2

4

+

1

2

＜2×

a

2

，
∴a²-4a+2＜0，
解得2-

2

＜a＜2+

2

；

（3）設(shè)x²-（2-a）x-

1

2

=0的兩個根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=a-2，x₁•x₂=-

1

2

，
|x₁-x₂|=

(a-2)2-4×(- 1 2 )

=

(a-2)2+2

，
∵兩交點(diǎn)在直線y=2x上，
∴弦長=

5

|x₁-x₂|=

5

(a-2)2+2

，
∵2-

2

＜a＜2+

2

，
∴當(dāng)a=2時，弦長有最小值

5

×

2

=

10

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，利用二次函數(shù)與不等式求不等式的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)直線解析式利用兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出弦長．