Question

設k為實數，關于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的兩個實根分別為x₁，x₂，若x₁+2x₂²=k，則k=______．

Answer 1

∵x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的兩個實根分別為x₁、x₂，
∴x₂²+kx₂+k+1=0，
∴x₂²=-（kx₂+k+1）①
根據韋達定理：
x₁+x₂=-k               ②
x₁x₂=k+1               ③
∵x₂²=x₂²+x₁x₂-x₁x₂，
=（x₁+x₂）x₂-x₁x₂
=-kx₂-k-1，
∴x₁+2x₂²=k，
x₁+2（-kx₂-k-1）=k，
x₁+x₂-x₂-2kx₂-2k-2=k，
-k-x₂-2kx₂-2k-2=k，
x₂+2kx₂+4k+2=0，
即 （2k+1）（2+x₂）=0
∴k=-0.5或x₂=-2
∵k=-0.5時，
△=（-0.5）²-4×1×（-0.5+1）
=0.25-2
=-1.75＜0，
∴x₂=-2，
把x₂=-2代入原方程x²+kx+k+1=0，得
4-2k+k+1=0，
解得k=5，
檢驗：△=52-4×1×（5+1）=1＞0，
∴k=5．