Question

18．如圖，正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB、ED，延長BE交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠BEC=∠DEC；
（2）當(dāng)CE=CD時(shí)，求證：DF²=FE•FB．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS即可證得：△BEC≌△DEC，得出對(duì)應(yīng)角相等即可；
（2）首先證明△FDE∽△FBD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCE，
在△BEC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCE=∠DCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴∠BEC=∠DEC．
（2）證明：連接BD，如圖所示．
∵CE=CD，
∴∠DEC=∠EDC．
∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，
∴∠EDC=∠AEF．
∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，
∴∠FED=∠ECD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴∠ECD=∠ADB．
∴∠FED=∠ADB．
又∵∠BFD是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴$\frac{FE}{DF}=\frac{DF}{BF}$，
∴DF²=FE•BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．