Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點E、F．在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)．

Answer 1

解：四邊形BEDF可以是菱形．
理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，AD∥BC，OB=OD，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ABC中，AC==2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°時，四邊形BEDF為菱形，
即此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)為45°．
分析：首先由四邊形ABCD為平行四邊形，利用ASA證得△AOF≌△COE，然后可得OE=OF，又由OB=OD，可證得四邊形BEDF是平行四邊形，所以得當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，則可得此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)為45°．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系．