Question

解答下列各題：
（1）已知：關于x的方程2x²+kx-1=0一個根是-1，求k值及另一個根．
（2）若關于x的一元二次方程（a-2）x²-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根，求ax+3＞0的解集（用含a的式子表示）

Answer 1

分析：（1）設另一根為x₁，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，-1+x₁=-

k

2

，-1•x₁=-

1

2

，聯(lián)立解答即可；
（2）方程沒有實數(shù)根，則△＜0，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）把x=-1代入原方程得2×（-1）²+k•（-1）-1=0…（2分）
解得k=1…（4分）
則方程變?yōu)椋?x²+x-1=0…（5分）
解之得x=-1，x2=

1

2

…（8分）
∴k值為1，方程的另一個根為

1

2

．…（9分）

（2）由題意知：

a-2≠0 △＜0

…（2分）

a-2≠0 (-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0

…（3分）
解得a＜-2…（5分）
由ax+3＞0得ax＞-3…（6分）
∵a＜-2＜0…（7分）
∴x＜-

3

a

…（9分）

點評：本題考查了根的判別式的知識，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
同時考查了利用一元二次方程根與系數(shù)的關系解題，可以使運算簡便，應靈活運用．