Question

10．若實數(shù)m，n滿足m+n=mn且n≠0時，就稱點P（m，$\frac{m}{n}$）為“完美點”．
（1）判斷點A（2，3）、B（3，2）是不是完美點；
（2）若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上存在兩個“完美點”C、D，且CD=$\sqrt{6}$，請求出k的值；
（3）已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+（p-t+1）x+q+t-3上存在唯一的“完美點”，且當-2≤p≤3時，q的最小值為t，求t值．

Answer 1

分析 （1）按照完美點概念，求出m、n的值，代入驗算，判斷各點是否是完美點；
（2）首先得出完美點所在的函數(shù)解析式，進而利用韋達定理求出k的值，進而得出答案；
（3）根據(jù)當-2≤p≤3時，q的最小值為t，當t＜-2，則t=（2+t）²-t+2，當-2≤t≤3，則t=-t+2，當t＞3分別分析得出答案．

解答 解：（1）∵實數(shù)m，n滿足m+n=mn且n≠0時，就稱點P（m，$\frac{m}{n}$）為“完美點”．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{\frac{m}{n}=3}\end{array}\right.$，
解得：n=$\frac{2}{3}$，
∵2+$\frac{2}{3}$≠2×$\frac{2}{3}$
∴A不是“完美點”，
假設(shè)點（3，2）是完美點，
則：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{\frac{m}{n}=2}\end{array}\right.$，
解得：m=3，n=$\frac{3}{2}$，
根據(jù)完美點定義，應該滿足：
3、$\frac{3}{2}$為正實數(shù)，
3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴點B（3，2）是完美點．

 （2）∵m+n=mn且n≠0，
∴$\frac{m}{n}$+1=m，即$\frac{m}{n}$=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美點”P在直線y=x-1上，設(shè)點C、D坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
令$\frac{k}{x}$=x-1化簡得x²-x-k=0，
∵DC=$\sqrt{6}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{3}$，
由韋達定理x₁+x₂=1，x₁x₂=-k，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴1+4k=3，
解得：k=$\frac{1}{2}$，此時x²-x-k=0的△＞0，
∴k=$\frac{1}{2}$；

（3）令$\frac{1}{4}$x²+（p-t+1）x+q+t-3=x-1，由于“完美點”唯一，
∴此方程△=0，
（p-t）²-（q+t-2）=0，即q=（p-t）²-t+2，
q為p的二次函數(shù)
∵當-2≤p≤3時，q的最小值為t，
若t＜-2，則t=（2+t）²-t+2，
此時t無解；
若-2≤t≤3，則t=-t+2，解得：t=1，
若t＞3，則t=（3-t）²-t+2，
解得：t₁=4+$\sqrt{5}$，t₂=4-$\sqrt{5}$（不合題意舍去），
綜上t=1或4+$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了反比例函數(shù)綜合以及完美點的新定義、根與系數(shù)的關(guān)系等知識，正確利用分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．