Question

6．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點E，D分別落在邊AC，AB上，連接BE，點O為BE的中點，連接OC、OD，試判斷線段OC、OD的數(shù)量關(guān)系以及∠COD、∠ABC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（2）繼續(xù)探究：
將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)任意的角度a，請你觀察、思考、分析、判斷（1）中的結(jié)論是否成立．并選取圖2證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結(jié)論：OC=OD，∠COD=2∠ABC．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明．
（2）如圖2中，取AB中點F，連接CD、CF、OF．設(shè)∠DAB=∠EAC=α，∠CAD=β．首先證明△EAD∽△BAC，推出$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$，得$\frac{AC}{2OF}$=$\frac{AC}{2CF}$，得$\frac{AD}{OF}$=$\frac{AC}{CF}$，由$\frac{AC}{AD}$=$\frac{FC}{OF}$，∠CFO=∠CAD=β，推出△CFO∽△CAD，再證明△DCO∽△ACF，即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1中，結(jié)論：OC=OD，∠COD=2∠ABC．

理由：在Rt△ECB中，∵∠ECB=90°．EO=OB，
∴OC=OB=OE，同理可證OD=OB=OE，
∴OC=OD，
∴∠OCB=∠OBC，∠ODB=∠OBD，
∵∠COE=∠OCB+∠OBC，∠EOD=∠ODB+∠OBD，
∴∠COD=∠COE+∠EOD=2∠OBC+2∠OBD=2（∠OBC+∠OBD）=2∠ABC．

（2）結(jié)論仍然成立，OC=OD，∠COD=2∠ABC．
理由：如圖2中，取AB中點F，連接CD、CF、OF．設(shè)∠DAB=∠EAC=α，∠CAD=β．

∵∠C=90°，AF=FB，
∴AF=FB=CF，
∴∠AFC=2∠ABC，∠CAF=∠ACF=α+β，
∴∠AFC=180°-2α-2β，
∵OE=OB，AF=FB，
∴FO∥AE，OF=$\frac{1}{2}$AE，
∴∠EAF+∠AFO=180°，
∴（2α+β）+（∠AFC+∠CFO）=180°，
∴2α+β+180°-2α-2β+∠CFO=180°，
∴∠CFO=β=∠CAD，
∵∠EAD=∠BAC，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△EAD∽△BAC，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{AC}{2OF}$=$\frac{AC}{2CF}$，
∴$\frac{AD}{OF}$=$\frac{AC}{CF}$，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{FC}{OF}$，∵∠CFO=∠CAD=β，
∴△CFO∽△CAD，
∴∠ACD=∠FCO，$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CO}{CD}$，
∴∠DCO=∠ACF，
∴△DCO∽△ACF，
∴∠COD=∠AFC=2∠ABC，$\frac{DO}{AF}$=$\frac{CO}{CF}$
∵△ACF是等腰三角形，
∴FA=FC，
∴OD=OC．∠COD=2∠ABC．

點評 本題考查幾何變換綜合題、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加輔助線構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．