Question

已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．
（1）若不論m為何值，直線l都經(jīng)過一定點(diǎn)，試求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若以A（1，2）為圓心，3為半徑畫⊙A，求⊙A被直線l截得的最短弦長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,勾股定理

專題：

分析：（1）直線方程即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，一定經(jīng)過2x+y-7=0和x+y-7=0 的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組可求定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)定點(diǎn)為P（3，1），由于經(jīng)過P點(diǎn)的直線l⊥AP時(shí)⊙A被直線l截得的弦最短，先求得AP，再根據(jù)勾股定理求得PC，進(jìn)而求得弦BC的長，即可求得⊙A被直線l截得的最短弦長．

解答：解：（1）直線：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．
即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
根m的任意性可得

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，
∴不論m為何值，直線l都經(jīng)過一定點(diǎn)（3，1）．

（2）設(shè)定點(diǎn)為P（3，1），
∵經(jīng)過P點(diǎn)的直線l⊥AP時(shí)⊙A被直線l截得的弦最短，
∵A（1，2），P（3，1），
∴AP=

11+22

=

5

，
∵AC=3，
∴PC=

AC2-AP2

=2
∴BC=2PC=4，
∴⊙A被直線l截得的最短弦長為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程形式，直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．