Question

5．如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，分別過點(diǎn)A、B向x軸、y軸作垂線．垂足分別為點(diǎn)C、E、F、D，AC和BD交于點(diǎn)P，$\frac{AP}{PC}$=2且△ABP的面積為4，有以下結(jié)論：
①四邊形DPCO的面積為2；②k=12；③$\frac{BP}{DP}$=2；④S_{四邊形AEDP}=S_{四邊形BPCF}=2．
其中正確的是①③．（填上所有你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），點(diǎn)B坐標(biāo)為（n，$\frac{k}{n}$），結(jié)合$\frac{AP}{PC}$=2且△ABP的面積為4列出關(guān)于m、n和k的分式方程組，解方程組得出m、n之間的關(guān)系以及k的值，由此得出②不成立；①由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合m、n之間的關(guān)系利用矩形的面積公式即可得知結(jié)論成立；③由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)和m、n之間的關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離即可得知結(jié)論成立；④由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合m、n之間的關(guān)系利用矩形的面積公式即可得出S_{四邊形AEDP}=S_{四邊形BPCF}=4，即④不成立，從而得出正確的結(jié)論是①③．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），點(diǎn)B坐標(biāo)為（n，$\frac{k}{n}$）（0＜m＜n）．
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{m}-\frac{k}{n}=2\frac{k}{n}}\\{（n-m）（\frac{k}{m}-\frac{k}{n}）=4×2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{n=3m}\end{array}\right.$．
故②k=12，不成立；
①四邊形DPCO的面積S=OC•PC=m•$\frac{k}{n}$=m•$\frac{6}{3m}$=2，
即①成立；
③BP=n-m=2m，DP=m，
故$\frac{BP}{DP}=\frac{2m}{m}$=2，③成立；
④S_{四邊形AEDP}=AP•DP=（$\frac{6}{m}$-$\frac{6}{n}$）•m=4，
S_{四邊形BPCF}=BP•PC=（n-m）•$\frac{6}{n}$=4，
故S_{四邊形AEDP}=S_{四邊形BPCF}=4，④不成立．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式以及矩形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合已知條件得出關(guān)于m、n和k的分式方程組，得出m、n之間的關(guān)鍵求出k值．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目的方法是：先根據(jù)題意列出方程組，求出m、n之間的關(guān)系和k的值后，再去判斷各結(jié)論的對(duì)錯(cuò)．