Question

如圖，已知拋物線y=

3

8

x²-

3

4

x-3，與x軸的交點(diǎn)為A、D，與y軸交點(diǎn)為C．
（1）若點(diǎn)M在拋物線上，使△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)B是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在某個(gè)位置，使BC+BD的值最��？若存在，求出此時(shí)的坐標(biāo)和BC+BD的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線的解析式，可求出點(diǎn)A、D與C的坐標(biāo)．利用當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，求解即可，
（2）利用當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C或D重合時(shí)BC+BD的值最小即可．

解答：解：（1）∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，

3

8

x²-

3

4

x-3=0，
解得x₁=-2，x₂=4．
當(dāng)x=0，y=-3．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；
∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴對(duì)稱軸為直線x=1．
∵點(diǎn)A，點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，
∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：
①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）；
②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3．
當(dāng)y=3時(shí)，

3

8

x²-

3

4

x-3=3，
解得x₁=1+

17

，x₂=1-

17

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

17

，3）或（1-

17

，3）．
綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）或（1+

17

，3）或（1-

17

，3）．
（2）結(jié)論：存在．
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C或D重合時(shí)BC+BD的值最�。�
∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0）或（0，-3）；
∴BC+BD=CD=

22+32

=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．