Question

10．如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的斜邊AB上，且⊙O分別與邊AC、BC相切于D、E兩點(diǎn)，已知AC=3，BC=4，則⊙O的半徑r=$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 連結(jié)OD、OE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODC=∠OEC=90°，再證明四邊形OECD為正方形得到CE=r，然后證明△BOE∽△BAC，利用相似比得到r：3=（4-r）：4，再利用比例性質(zhì)求r即可．

解答 解：連結(jié)OD、OE，如圖，
∵⊙O分別與邊AC、BC相切于D、E兩點(diǎn)，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
而∠C=90°，
∴四邊形OECD為矩形，
而OE=OD，
∴四邊形OECD為正方形，
∴CE=r，
∴BE=BC-CE=4-r，
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴OE：AC=BE：BC，即r：3=（4-r）：4，
∴r=$\frac{12}{7}$．
故答案為$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是證明CE=r．