Question

【探究】如圖1，在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，AE，BF相交于點(diǎn)M，連接DE，DF．則DE，DF的數(shù)量關(guān)系為

 

．
【拓展】如圖2，在△ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部，且∠MBC=∠MAC．過點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E，MF⊥AC于點(diǎn)F，連接DE，DF．求證：DE=DF；
【推廣】如圖3，若將上面【拓展】中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理

專題：

分析：探究：依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得．
拓展：連接CD，可證得CD是角ACD的平分線，根據(jù)△CMF≌△CME可求得CF=CE，從而求得AF=BE，然后再證得△CFD≌△CED即可求得．
推廣：作△ABM的中位線DG、DF，可得DH=FG，DG=HE，四邊形DHMG是平行四邊形，根據(jù)已知和平行四邊形求得∠DGF=∠DHE，求得△DHE≌△FGD，從而求得結(jié)論．

解答：解：【探究】DE=DF．

【拓展】如圖2，連接CD．
∵在△A B C中，C B=C A，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM．
∵點(diǎn) D是 邊 AB的 中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M在CD上，
∴CM平分∠FCE．
∴∠FCD=∠ECD．
∵M(jìn)E⊥BC于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME．
在△CMF和△CME中，

MF=ME ∠FCD=∠ECD CM=CM

∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴CF=CE．
在△CFD與△CED中

CF=CE ∠FCD=∠ECD CD=CD

∴△CFD≌△CED（SAS）．
∴DE=DF，

【推廣】DE=DF．
如圖3，作AM的中點(diǎn)G，BM的中點(diǎn)H．
∵點(diǎn) D是 邊 AB的 中點(diǎn)，
∴DG∥BM，DG=

1

2

BM．
同理可得：DH∥AM，DH=

1

2

AM．
∵M(jìn)E⊥BC于E，H 是BM的中點(diǎn)，
∴在Rt△BEM中，HE=

1

2

BM=BH．
∴DG=HE，
同理可得：DH=FG．
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四邊形DHMG是平行四邊形．
∴∠DGM=∠DHM．
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，
又∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE．
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE．
∴∠DGF=∠DHE，
在△DHE與△FGD中，

DG=HE ∠DGF=∠DHE DH=FG

∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．