Question

12．矩形ABCD，AB=2，BC=$\sqrt{3}$，P是對(duì)角線BD上動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 連接AC，將△BPC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BEF，作出相應(yīng)輔助線，讓條件集中；要使PA+PB+PC最小只要AP，PE，EF在同一直線上，從而求得PA+PB+PC的最小值．

解答 解：如圖所示，P是矩形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)
將△BPC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BEF

則PC=EF；BE=PB；∠PBE=60°
∴△PBE是等邊三角形
∴PB=PE
∴PA+PB+PC=PA+PE+EF
∴要使PA+PB+PC最小只要AP，PE，EF在同一直線上，
如圖：可得最小P′A+P′B+P′C=AP′+P′E′+E′F=AF．
作FG⊥AB延長(zhǎng)線于G
∴∠CBF=∠P′BE′=60°
∴∠ABF=90°+60°=150°；∴∠GBF=30°
∵△P′BC≌△E′BF
∴BF=BC=$\sqrt{3}$
∴BG=BF•cos30°=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$；GF=BF•sin30°=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴AG=AB+BG=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$
∴AF=$\sqrt{A{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$
∴PA+PB+PC的最小值為$\sqrt{13}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了最短路線問題，巧用旋轉(zhuǎn)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度較大．