Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AE⊥BC于點E，CD平分∠ACB交AB于點D，CD、AE交于點F，F(xiàn)G∥AB交BC于點G，求證：四邊形ADGF是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定

專題：證明題

分析：首先利用平行線的性質(zhì)得出∠CNG=90°，進(jìn)而得出△ANF≌△GEF（AAS），即可得出EG=AN，再證明△ADC≌△DGC（SAS），即可得出AD=DG，∠CAD=∠CGD=90°，再判斷四邊形ADGF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．

解答：證明：延長GF到AC一點N，
∵FG∥AB，∠CAB=90°，
∴∠CNG=90°，
∵∠AEC=90°，∠ACD=∠DCB，
∴FG=EF，
在△ANF和△GEF中
∵

∠NAF=∠EGF ∠AFN=∠GFE NF=EF

，
∴△ANF≌△GEF（AAS），
∴EG=AN
∴CA=GC，
在△ADC和△DGC中
∵

CA=CG ∠ACD=∠GCD CD=CD

，
∴△ADC≌△DGC（SAS），
∴AD=DG，∠CAD=∠CGD=90°，
∴AE∥DG，
又∵FG∥AD
∴四邊形ADGF是平行四邊形，
∵AD=DG，
∴四邊形ADGF是菱形．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定和平行四邊形的判定等知識，得出△ADC≌△DGC（SAS）是解題關(guān)鍵．