Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=kx+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且OA=8，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，如果把△AOB沿著直線(xiàn)BC折疊，那么點(diǎn)A恰好落在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)D處．
（1）線(xiàn)段OB的長(zhǎng)為

 

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

 

；
（2）求線(xiàn)段OC的長(zhǎng)；   
（3）求tan∠ABC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由OA的長(zhǎng)得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入y=kx+6中求出k的值，從而確定出直線(xiàn)AB的表達(dá)式；令直線(xiàn)AB的表達(dá)式中的x=0，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OB的長(zhǎng)，由OA的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等，故AB與BD相等，由BD的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等，所以∠BAO與∠BDC相等，它們的正切值也相等，根據(jù)正切函數(shù)定義列出比例式即可求出OC的長(zhǎng)；
（4）由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等，所以∠ABC與∠DBC相等，把要求的tan∠ABC轉(zhuǎn)換為tan∠DBC，根據(jù)正切函數(shù)定義求出值即可．

解答：解：（1）由OA=8得到：A（8，0），代入y=kx+6中得：
8k+6=0，解得：k=-

3

4

，
∴直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=-

3

4

x+6；
令x=0得：y=-

3

4

×0+6=6，
∴B（0，6），
∴OB=6；
∵OA=8，根據(jù)勾股定理得：AB=10，
由折疊可知：△ABC≌△DBC，
∴AB=BD=10，
∴OD=4，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-4）；
故答案為6，（0，-4）．

（2）由折疊可知：△ABC≌△DBC，
∴∠BAO=∠BDC，
則tan∠BAO=tan∠BDC，即

BO

AO

=

OC

OD

，則OC=

6×4

8

=3．

（3）由折疊可知：△ABC≌△DBC，∠ABC=∠DBC，
則tan∠ABC=tan∠DBC=

OC

OB

=

3

6

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．本題的關(guān)鍵是由折疊得三角形全等，利用全等得對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，借助轉(zhuǎn)化的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．