Question

如圖，將菱形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=2，CC₁=x，△ACD與△A₁C₁D₁重疊部分的面積為s，則下列結論：

①△A₁AD₁≌△CC₁B；

②當四邊形ABC₁D₁是矩形時，x=；

③當x=2時，△BDD₁為等腰直角三角形；

④（0＜x＜）。

其中正確的是　  　（填序號）。

Answer 1

①②③④。

【考點】平移的性質，菱形的性質，全等三角形的判定，矩形的的判定，等腰直角三角形的判定，含30度直角三角形的性質。

【分析】①∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=AD，∠ACB =∠DAC。∴∠DAC=∠ACB。

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁。

在△A₁AD₁與△CC₁B中，∵AA₁=CC₁，∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，

∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）。

故①正確。

②如圖1，過點B作BH⊥AC于點H，

∵四邊形ABC₁D₁是矩形，∠AC₁D₁=∠ACD=∠ACB=30°，

∴∠AC₁B=60°。

∴∠C₁BC=∠C₁CB=30°�！郆C₁= CC₁=x。

∵AB=BC=2，∴BH=1，HC=。

∴HC₁=。

∵HC=HC₁+ CC₁，∴，解得。

故②正確。

③如圖2，根據(jù)平移的性質，DD₁=CC₁=2，∠BDD₁=90°，

  根據(jù)菱形的性質和∠ACB=30°，可得DB=AB=2，

  ∴DD₁= DB=2。

∴△BDD₁為等腰直角三角形。

故③正確。