Question

已知四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過(guò)P作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC于點(diǎn)M、N、E、F，設(shè)a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，見(jiàn)圖1，請(qǐng)判斷a與b的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A為銳角時(shí)，見(jiàn)圖2，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)

BP

PD

=k，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

4

9

？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，對(duì)角線BD把矩形ABCD分成兩個(gè)全等三角形，即S_△ABD=S_△BCD，又MN∥AD，EF∥CD，所以四邊形MBFP和四邊形PFCN均為矩形，即S_△MBF=S_△BFP，S_△EPD=S_△NPD，根據(jù)求差法，可知S_{四邊形AMPE}=S_{四邊形PFCNA}，即a=b；
（2）（1）的方法同時(shí)也適用于第二問(wèn)；
（3）由（1）（2）可知，任意一條過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線將把平行四邊形分成面積相等的兩部分，利用面積之間的關(guān)系即可解答．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴MN∥AD，EF∥CD，
∴四邊形PEAM、PNCF也均為矩形，
∴a=PM•PE=S_矩形PEAM，b=PN•PF=S_矩形PNCF，
又∵BD是對(duì)角線，
∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，
∵S_矩形PEAM=S_△BDA-S_△PMB-S_△PDE，
S_矩形PNCF=S_△DBC-S_△BFP-S_△DPN，
∴S_矩形PEAM=S_矩形PNCF，
∴a=b；

（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四邊形，MN∥AD，EF∥CD
∴四邊形PEAM、PNCF也均為平行四邊形
根據(jù)（1）可證S_{平行四邊形PEAM}=S_{平行四邊形PNCF}，
過(guò)E作EH⊥MN于點(diǎn)H，
則sin∠MPE=

EH

PE

EH=PE•sin∠MPE，
∴S_?PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE，
同理可得S_?PNCF=PN•PFsin∠FPN，
又∵∠MPE=∠FPN=∠A，
∴sin∠MPE=sin∠FPN，
∴PM•PE=PN•PF，
即a=b；

（3）方法1：存在，理由如下：
由（2）可知S_?PEAM=AE•AMsinA，S_?ABCD=AD•ABsinA，
∴

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

2S平行四邊形PEAM

2S△ABD

=

2S平行四邊形PEAM

S平行四邊形ABCD

=

2AE•AMsinA

AD•ABsinA

=2•

AE

AD

•

AM

AB

，
又∵

BP

PD

=k，即

BP

BD

=

k

k+1

，

PD

BD

=

1

k+1

，
而

AE

AD

=

BP

BD

=

k

k+1

，

AM

AB

=

PD

BD

=

1

k+1

，
∴2×

k

k+1

×

1

k+1

=

4

9

即2k²-5k+2=0，
∴k₁=2，k2=

1

2

．
故存在實(shí)數(shù)k=2或

1

2

，使得

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

4

9

；
方法2：存在，理由如下：
連接AP，設(shè)△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，即

S1

S2

=

BM

AM

=

BP

PD

，

S3

S4

=

AE

DE

=

BP

PD

（8分）
即

S1=kS2 S3=kS4 S2=S3

∴

S1=k2S4 S2=S3=kS4

∴

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

S2+S3

S1+S2+S3+S4

=

4

9

即

2kS4

(k2+2k+1)S4

=

4

9

∴2k²-5k+2=0（9分）
∴k₁=2，k2=

1

2

故存在實(shí)數(shù)k=2或

1

2

，使得

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在實(shí)際中的應(yīng)用，難易程度適中．