Question

如圖所示，梯形AOBC中，AC∥OB，AO=CB，A（2，2），B（8，0），O（0，0）．
（1）求C點坐標；
（2）在第一象限內確定點M，使以M、O、B三點為頂點的三角形與△AOB相似，求出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

解：（1）過A作AE⊥OB于E，過C作CF⊥OB于F，
∵AC∥OB，AO=CB，A（2，2），
∴OE=BF=2，AE=CF=2，
∵B（8，0），
∴AC=EF=8-2-2=4，
∴OF=2+4=6，
∴C坐標為（6，2）；

（2）連接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
又∵D是圓心，
∴DB=OB=4=AC．
∴ACBD是平行四邊形．
∴AD=CB=AO．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4．
∴AD=AO=4=OB．
∴點A在⊙D上，
∵點A在⊙D上，OB為直徑，
∴∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．
故符合題意的點M有以下3種情況：
①當△OM₁B與△BAO相似時（如圖），則有，
∴M₁B=AO．
∵CB=AO，∴M₁B=CB．
∴點M₁與點C重合．
∴此時點M₁的坐標為（6，2）；
②當△OM₂B與△OBA相似時，即過B點作OB的垂線交OA的延長線于M₂（如圖），則有，
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4，
∴M₂B=8，
∴此時點M₂的坐標為（8，8）；
③當△OM₃B與△BOA相似時，即過B點作OB的垂線交OC的延長線于M₃（如圖），則有，
∴M₃B=，
∴此時點M₃的坐標為（8，）
綜上可知：M的坐標為：（6，2）或（8，8）或（8，）
分析：（1）過A作AE⊥OB于E，過C作CF⊥OB于F，則由A、B的坐標和等腰三角形的性質以及勾股定理即可求得C的坐標；
（2）連接AD，即可證得ACBD是平行四邊形，在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4，又由AD=AO=4=OB，則可得點A在⊙D上；∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．故符合題意的點M有以下3種情況：；①當△OM₁B與△BAO相似時（如圖），則有，②當△OM₂B與△OBA相似時，即過B點作OB的垂線交OA的延長線于M₂（如圖），則有③當△OM₃B與△BOA相似時，即過B點作OB的垂線交OC的延長線于M₃（如圖），則有代入數(shù)值依次求解即可．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及在直角坐標系中的綜合應用．題目比較難，注意輔助線的作法與數(shù)形結合思想的合理應用．