Question

5．如圖，直線BC交x軸、y軸于點B（3，0）和C（0，3），且拋物線y=-x²+bx+c過B、C兩點，與x軸交于另一點A．
（1）求直線BC和拋物線的解析式；
（2）設(shè)P（x，y）是（1）中拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．
①若點P在第一象限內(nèi)，線段PN的長度為h，試求h與x的函數(shù)解析式．h是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由；
②當△PBC是以BC為底邊的等腰三角形時，則點P的坐標為（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．（直接寫出坐標，不要求寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點B、C的坐標求出直線BC的解析式，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式列式求解即可；
（2）①根據(jù)拋物線解析式與直線解析式表示出點P、N的坐標，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
②根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知點P在BC的垂直平分線上，再根據(jù)點B、C的坐標可知BC的垂直平分線也是∠BOC的平分線，然后根據(jù)點P的橫坐標與縱坐標相等即可得出答案．

解答 解：（1）∵直線BC交x軸、y軸于點B（3，0）和C（0，3），
∴設(shè)直線解析式為：y=kx+e，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+e=0}\\{e=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{e=3}\end{array}\right.$
故直線BC的解析式為：y=-x+3，
∵點B、C在拋物線y=-x²+bx+c上，于是得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故所求函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x+3；

（2）①∵點P（x，y）在拋物線y=-x²+2x+3上，
且PN⊥x軸，
∴設(shè)點P的坐標為（x，-x²+2x+3），
同理可設(shè)點N的坐標為（x，-x+3），
又點P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x²+2x+3）-（-x+3），
=-x²+3x，
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，
線段PN的長度的最大值為$\frac{9}{4}$．
②如圖所示：由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，
∴設(shè)點P的坐標為（a，a），
又點P在拋物線y=-x²+2x+3上，于是有a=-a²+2a+3，
∴a²-a-3=0，
解得：a₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，a₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
∴點P的坐標為：（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值問題、等腰三角形三線合一的性質(zhì)，（2）中根據(jù)點B、C的坐標，OB與OC恰好相等是解題關(guān)鍵．