Question

已知拋物線C₁：y=

1

2

（x+4）²-1交y軸交于點E，對稱軸AP交拋物線、x軸于點A、P．在直線AP右側(cè)的x軸上有一點M，且tan∠PAM=3，將拋物線C₁繞點M 旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，點B為C₂的頂點．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）已知點N是y軸上一點，△ABN的內(nèi)心在y軸上，求N點坐標(biāo)；
（3）將拋物線C₂沿其對稱軸向上平移m個單位長度（m＞0），得到拋物線C₃，其頂點為D，與y軸的交點為F，是否存在m的值，使四邊形AEDF為梯形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：計算題,壓軸題,存在型,數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：（1）首先能確定拋物線C₁的頂點A和與y軸交點E的坐標(biāo)；根據(jù)條件∠PAM=3能確定點M的坐標(biāo)；拋物線C₁旋轉(zhuǎn)180°后，開口方向向下，旋轉(zhuǎn)后的頂點與旋轉(zhuǎn)前的頂點關(guān)于點M對稱，可據(jù)此求出拋物線C₂的解析式．
（2）若△ABN的內(nèi)心在y軸上，那么點N必在∠ANB的角平分線上，所以分別過點A、B作y軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形即可確定點N的坐標(biāo)．
（3）首先求出平移后的拋物線C₃解析式，能確定點D、F的坐標(biāo)，然后表示出四邊形四邊的斜率，令兩組對邊分別平行（即斜率相同），先求出m的值（需注意m＞0），進一步得到點D、F的坐標(biāo)后，再確定另兩組對邊是否相等，若相等，那么四邊形是平行四邊形，若不相等，則是梯形．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y=

1

2

（x+4）²-1=

1

2

x²+4x+7，
∴A（-4，-1）、E（0，7）；
△PAM中，AP=1，tan∠PAM=3，∴PM=3PA=3，OM=OP-PM=1
∴M（-1，0）；
依題意，點A、B關(guān)于點M對稱，則 B（2，1）
∴拋物線C₂：y=-

1

2

（x-2）²+1．

（2）△ABN的內(nèi)心在y軸上，則ON平分∠ANB；
過點A作AG⊥y軸于G，BH⊥y軸于H，如右圖；
設(shè)N（0，y），則 NH=y-1、NG=y+1；
∵∠ANG=∠BNH、∠AGN=∠BHN=90°
∴△ANG∽△BNH，
∴

NG

AG

=

NH

BH

，即

y+1

4

=

y-1

2

，解得 y=3
∴N（0，3）．

（3）依題意，設(shè)拋物線C₃：y=-

1

2

（x-2）²+1+m=-

1

2

x²+2x+m-1（m＞0）；
∴D（2，m+1）、F（0，m-1）；
已知A（-4，-1）、E（0，7）；
∴k_AE=

7-(-1)

0-(-4)

=2、k_DF=

(m-1)-(m+1)

0-2

=1、k_AF=

(m-1)-(-1)

0-(-4)

=

m

4

、k_DE=

7-(m+1)

0-2

=

m-6

2

；
∴k_AE≠k_DF，
∴AE與DF不平行；
因此只考慮AF與DE平行這一種情況，則有：

m

4

=

m-6

2

，解得 m=12；
所以當(dāng)m=12時，四邊形AEDF是梯形．

點評：題目主要考查的是函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)和平移、三角形內(nèi)心的特點以及梯形的判定等知識；需要注意的是在梯形的判定條件中，一定不要漏掉“另一組對邊不平行”的條件．