Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸，y軸交于B，A兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)M．

①點(diǎn)C是直線AB上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△MNC∽△BPM相似時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

②若∠NAB＝60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）或（，）②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x2+ x+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-x，-x2+x+2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-x+2），進(jìn)而可得出MN=-x2+4x，CN=|2x-|，由相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PM=-m+2，MN=-m2+4m，利用相似三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值可用含m的代數(shù)式表示出BM，ME，AE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+2＝2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）；

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+2＝0，

解得：x＝4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．

將A（0，2），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，

解得：，

∴這個(gè)拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）①當(dāng)△MNC∽△BPM相似時(shí)，如圖1所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣x，﹣x2+x+2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣x+2），

∴MN＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+4x，CN＝|x﹣（﹣x）|＝|2x﹣|．

∵△MNC∽△BPM，

∴＝，即＝，

解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），x3＝1，x4＝7（舍去），

∴﹣x＝或，

∴當(dāng)△MNC∽△BPM時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）或（，）．

②過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，如圖2所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PM＝﹣m+2，MN＝﹣m2+4m，

∴BM＝PM＝﹣m+2，ME＝MN＝（﹣m2+4m），NE＝2ME＝（﹣m2+4m），AE＝NE＝（﹣m2+4m），

∴BM+ME+AE＝AB，即﹣m+2+（﹣m2+4m）+（﹣m2+4m）＝，

整理得：（6+4）m2﹣（16+9）m＝0，

解得：m1＝0（舍去），m2＝，

∴當(dāng)∠NAB＝60°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．