Question

4．如圖1，直線l：y=x+3與y軸交于點A，過點A的拋物線y=（x+1）²+k與另一拋物線y=（x-h）²+3+h（h≠1）交于點C，這兩條拋物線的頂點分別為B，D．
（1）求k的值；
（2）判斷點B和點D是否在直線l上，并說明理由；
（3）用含h的代數(shù)式表示點C的橫坐標；
（4）當∠ACD=90°時，求h的值；并直接寫出當∠ACD＞90°時h的范圍（圖2供參考）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)頂點式函數(shù)解析式，可得頂點坐標，根據(jù)頂點的坐標滿足函數(shù)解析式頂點在函數(shù)圖象上，可得答案；
（3）根據(jù)解方程組，可得C點的坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點坐標；
（4）根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于h的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵點A為y=x+3與y軸的交點，
∴A（0，3），
把A（0，3）代入y=（x+1）²+k得k+1=3，
解得k=2；
（2）∵y=（x+1）²+2的頂點為B，
∴B（-1，2）
代入y=x+3得y=-1+3=2，
∴B在直線l上，
∵y=（x-h）²+3+h頂點為D，
∴D（h，3+h）
代入y=x+3得y=h+3，
∴D在直線l上；
（3）聯(lián)立y=（x+1）²+2和y=（x-h）²+3+h，
得 （x+1）²+2=（x-h）²+3+h，
整理得2x（h+1）=h（h+1）
∵h≠-1，
∴x=$\frac{1}{2}$h．
 此時y_C=（$\frac{h}{2}$+1）²+2=$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3
C點坐標（$\frac{h}{2}$，$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3），h，3+h）
（4）A（0，3），D（h，3+h），C點坐標（$\frac{h}{2}$，$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3），
當∠ACD=90°時AC²+CD²=AD²，
又∵AC²=（$\frac{h}{2}$）²+（$\frac{{h}^{2}}{4}$+h）²，CD²=$\frac{{h}^{2}}{4}$+（$\frac{{h}^{2}}{4}$）²，AD²=h²+h²，
∴（$\frac{h}{2}$）²+（$\frac{{h}^{2}}{4}$+h）²+$\frac{{h}^{2}}{4}$+（$\frac{{h}^{2}}{4}$）²=h²+h²，
整理得$\frac{{h}^{2}}{4}$+h-1=0
解得h₁=2$\sqrt{2}$-2，h₂=-2$\sqrt{2}$-2；
要使∠ACD＞90°只須-2$\sqrt{2}$-2＜h＜2$\sqrt{2}$-2且h≠-1，h≠0．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，把點的坐標代入解析式是解題關(guān)鍵；利用點的坐標滿足函數(shù)解析式點在函數(shù)圖象上是解題關(guān)鍵；解方程組是求C點的坐標的關(guān)鍵；利用勾股定理是解題關(guān)鍵．