Question

20．如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線，垂足為F，交半圓O于點E，交AC于點C，使∠BED=∠C．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AC=10，cos∠BED=$\frac{4}{5}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）先證∠BAD+∠AOF=90°，再由圓周角定理和已知條件找出∠BAD=∠C，得出∠C+∠AOF=90°，從而證出AC⊥OA，得出結(jié)論；
（2）先由三角函數(shù)求出CF，再由勾股定理求出AF，然后由垂徑定理即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）直線AC是⊙O的切線；理由如下：
∵OE⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∵∠BED=∠C，∠BED=∠BAD，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C+∠AOF=90°，
∴∠OAC=90°，即AC⊥OA，
∴直線AC是⊙O的切線；
（2）∵cos∠BED=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠C=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴CF=AC•$\frac{4}{5}$=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵OE⊥AD，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=2AF=12．

點評 本題考查了切線的判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理的運用；熟練掌握切線的判定方法，運用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．