Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點(diǎn)A，C始終在x軸的正半軸上，B，D在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在直線OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD的中點(diǎn)，AB與OD相交于E，當(dāng)點(diǎn)B位置變化時(shí)，Rt△OAB的面積恒為。

試解決下列問(wèn)題：
（1）填空：點(diǎn)D坐標(biāo)為_(kāi)___；
（2）設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)把BD長(zhǎng)表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；
（3）等式BO=BD能否成立？為什么？
（4）設(shè)CM與AB相交于F，當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）； （2）由Rt△OAB的面積為，得B（t，）， ∵BD2=AC2+（AB-CD）2， = ∴②； （3）若OB=BD，則OB2=BD2， 在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=， 由①得，得， ∴， ∵， ∴此方程無(wú)解， ∴OB≠BD； （4）如果，①當(dāng)∠EBD=90°時(shí)，此時(shí)F，E，M三點(diǎn)重合，如右上圖 ∵BF⊥x軸，DC⊥x軸， ∴BF∥DC， ∴此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形； ②當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，如右下圖 ∵CF⊥OD，∴BD∥CF， 又AB⊥x軸，DC⊥x軸， ∴BF∥DC， ∴此時(shí)四邊形BDCF為平行四邊形； 下證平行四邊形BDCF為菱形： 在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2， ∴， ∴， ， ∵BD在OD上方，解得， 或，（舍去），得 此時(shí)BD=CD=， ∴此時(shí)四邊形BDCF為菱形。