Question

如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：
①四邊形CEDF有可能成為正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四邊形CEDF的面積是定值；④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為

2

．其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①④

B．②③

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

①當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形，故此選項(xiàng)正確；
②①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；


∵在△ADE和△CDF中，

AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項(xiàng)正確；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF．
∵S_{四邊形CEDF}=S_△CED+S_△CFD，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△CED+S_△AED，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△ADC．
∵S_△ADC=

1

2

S_△ABC=4．
∴四邊形CEDF的面積是定值4，故本選項(xiàng)正確；
④④△DEF是等腰直角三角形，

2

DE=EF，
當(dāng)EF∥AB時(shí)，∵AE=CF，
∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值=

22+22

=2

2

，
∵CE=CF=2，
∴此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為

1

2

EF=

2

．故此選項(xiàng)正確．
故選D．