Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．

（1）求證：AM＝AD+MC；

（2）若AD＝4，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5

【解析】

（1）從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長AE、BC交于點(diǎn)N，易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．

（2）設(shè)MC=x，則BM=4-x，由勾股定理與（1）的結(jié)論得出，解得x即可得出結(jié)果．

解：（1）證明：延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE＝∠MAE，

∴∠ENC＝∠MAE，

∴AM＝MN，

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS），

∴AD＝NC，

∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝4，∠B＝90°，

設(shè)MC＝x，則BM＝4﹣x，

解得：x＝1，

∴AM＝5．