Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，3），點B的坐標為（3，0），
（1）求拋物線的解析式及頂點為D的坐標；
（2）求△CDB的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使以點A、D、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點B與點C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解，把解析式整理成頂點式即可寫出頂點坐標；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后求出與x軸的交點坐標，再根據(jù)x軸把△CDB分成兩個三角形，列式求解即可；
（3）先求出邊AD，BC、AB的長度，根據(jù)數(shù)據(jù)可得∠B與∠D都是45°角，然后分AD與AB是對應邊與AD與BC是對應邊兩種情況利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出DP的長度，從而點P的坐標便可求出．
解答：解：（1）∵拋物線過點B（3，0），點C（0，3），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3…2分
又y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點D的坐標是：D（2，-1）…3分

（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線CD：y=-2x+3…4分
當y=0時，-2x+3=0，
解得x=1.5，
∴直線CD與x軸交于點（1.5，0）…5分
S_△CDB=×（3-1.5）×3+×（3-1.5）×1=×6=3…6分

（3）存在點P（2，2）或（2，-），使以點A、D、P為頂點的三角形與△ABC相似．
理由如下：設(shè)對稱軸與x軸相交于點E，則AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD==，且∠ADE=45°，
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC===3，且∠ABC=45°，
設(shè)點P的坐標是（2，y），
∵△ADP與△ABC相似，
∴①當AD與AB是對應邊時，=，
即=，
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴點P的坐標是（2，-1）
②當AD與BC是對應邊時，=，
即=，
解得DP=，
y-（-1）=，
解得y=-，
∴點P的坐標是（2，-）．
綜上所述，點P的坐標是（2，2）或（2，-）．…9分．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，頂點坐標，三角形的面積，相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強，（3）中注意相似三角形的對應邊不明確，要分情況討論求解，避免漏解而導致出錯．