Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-4x+3的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y=x²-4x+3關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)（2）中所求拋物線上的點(diǎn)A₁與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，頂點(diǎn)C₁與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，在拋物線y=x²-4x+3上是否存在一點(diǎn)P，使△PA₁C₁的面積最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）列方程即可得A（3，0），根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到C（2，-1）；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象的特點(diǎn)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到A₁（-3，0），C₁（-2，-1），求得直線A₁C₁的解析式為y=-x-3，由于△PA₁C₁的面積最小，得到P到A₁C₁的距離最小，設(shè)P（m，m²-4m+3），P到A₁C₁的距離為W，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-4x+3的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，
∴令y=0，即x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，
∴A（3，0），
∴-$\frac{2a}$=2，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-1，
∴C（2，-1）；

（2）拋物線y=x²-4x+3關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為y₂=x²+4x+3；

（3）∵拋物線y=x²-4x+3與拋物線y₁=x²+4x+3關(guān)于y軸對(duì)稱，
∵A（3，0），C（2，-1），
∴A₁（-3，0），C₁（-2，-1），
∴直線A₁C₁的解析式為y=-x-3，
∵△PA₁C₁的面積最小，
∴P到A₁C₁的距離最小，
設(shè)P（m，m²-4m+3），P到A₁C₁的距離為W，
則W=$\frac{|m+{m}^{2}-4m+3+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|{m}^{2}-3m+6|}{\sqrt{2}}$，
要使W的值最小，則|x²-3x+6|最小，
即x²-3x+6=0，
∵x²-3x+6=0無實(shí)根，
∴不存在點(diǎn)P，使△PA₁C₁的面積最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離公式，在（3）中知道當(dāng)△PA₁C₁的面積最小時(shí)，P到A₁C₁的距離最小是解題的關(guān)鍵．