Question

已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．
①當直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的頂點為（0，4），
∴可設拋物線解析式為y=ax²+4，
又∵拋物線過點（2，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+4；

（2）①如圖，連接CE，CD．
∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°，
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=

4 3

3

，
∴當直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC=

4 3

3

；

②存在k=2

2

，能夠使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上．理由如下：
設拋物線y=-x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它與y=-x²+4交于點P，
由-（x-k）²+4=-x²+4，解得x₁=

k

2

，x₂=0（不合題意舍去），
當x=

k

2

時，y=-

1

4

k²+4，
∴點P的坐標是（

k

2

，-

1

4

k²+4）．
設直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，
得mk=4，解得m=

4

k

，
∴直線OD的解析式為y=

4

k

x，
若點P（

k

2

，-

1

4

k²+4）在直線y=

4

k

x上，得-

1

4

k²+4=

4

k

•

k

2

，
解得k=±2

2

（負值舍去），
∴當k=2

2

時，O、P、D三點在同一條直線上．