Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點D，直徑CF⊥AB于點E，AD、CF交于點H．
（1）求證：EF=EH；
（2）若

OE

CD

=

5

8

，AC=4，求BD的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,勾股定理,垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接AF，運用△AEF≌△AEH求出EF=EH；
（2）運用△BEO∽△ADC，求出半徑BO的長，利用勾股定理求出AF的長，再由△CEA∽△CAF，求出CE，運用勾股定理可出BE，再解出AD，最后運用勾股定理求出BD．

解答：解：如圖1，連接AF，

∵∠AEH=∠CDH=90°，∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCF，
∵∠BCF=∠BAF，
∴∠BAD=∠BAF，即∠FAE=∠HAE，
在△AEF和△AEH中，

∠FAE=∠HAE AE=AE ∠AEF=∠AEH

，
∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴EF=EH；
（2）如圖2，連接AF，

∵直徑CF⊥AB于點E，
∴∠ACD=2∠BCF，
∵∠BOF=2∠BCF，
∴∠BOE=∠CAD，
∵∠ADC=∠BEO=90°，
∴△BEO∽△ADC，
∴

BO

AC

=

OE

CD

，
∵

OE

CD

=

5

8

，AC=4，
∴

BO

4

=

5

8

，
∴BO=

5

2

，
∴FC=2BO=5，
∴在RT△CAF中，AF=

FC2-AC2

=

52-42

=3，
∵△CEA∽△CAF，
∴

CE

AC

=

AC

FC

，即

CE

4

=

4

5

，
∴CE=

16

5

，
∴AE=

AC2-CE2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

，
∵BE=AE=

12

5

，
∵

BE

AD

=

5

8

，
∴AD=

96

25

，
在RT△ADB中，
BD=

AB2-AD2

=

( 24 5 )2-( 96 25 )2

=

72

25

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理及垂徑定理等知識，解題的關鍵是要把三角形相似及勾股定理相結合求出BD．