Question

10．如圖，在△ABC中，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，且DE∥AB交AC于F時．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）連接CE，若AB=2，CD=4，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AB，∠ADE=∠B，由平行線的性質(zhì)得到∠ADE=∠DAB，等量代換得到∠DAB=∠B，求得AD=BD，于是得到結(jié)論；
（2）過A作AH⊥CD于H，解直角三角形得到AH=$\sqrt{3}$，BH=1，求得DH=1，得到CH=5，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{26}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAC=∠DAB=60°，AE=AC，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，
∴AD=AB，
∴∠ADE=∠B，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠DAB，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等邊三角形；

（2）解：過A作AH⊥CD于H，
∵∠B=60°，AB=2，
∴AH=$\sqrt{3}$，BH=1，
∵BD=AB=2，
∴DH=1，
∴CH=5，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，
∴∠EAC=∠DAB=60°，AE=AC，
∴△ACE是等邊三角形，
∴CE=AC=$\sqrt{26}$．

點評 本題考查了本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．