Question

5．如圖，AB為半圓O的直徑，M為半圓內(nèi)的一點(diǎn)，直線AM交半圓O于點(diǎn)C，直線BM交半圓O于點(diǎn)D，直線DC與直線AB交于點(diǎn)P，N為直徑AB上的一點(diǎn)，且滿足ON•OP=OB²，求證：MN⊥AB．

Answer 1

分析 連接OD，OC，ND，NC，DA由ON•OP=OB²，易證△ODN∽△OPD，利用對(duì)應(yīng)角相等可得O，D，C，N四點(diǎn)共圓；由BD平分角∠CDN及M為△DCN的內(nèi)心，得出M，N，A，D四點(diǎn)共圓，再由AB為半圓O的直徑，得出∠ADB=90°，從而得出∠MNA=∠ADM=90°，即可得出MN⊥AB．

解答 證明：如圖，連接OD，OC，ND，NC，DA

∵OB²=ON•OP=OD²
∴$\frac{ON}{OD}$=$\frac{OD}{OP}$，
∵∠DON=∠POD，
∴△ODN∽△OPD
∴∠DNO=∠ODC=∠OCD
∴O，D，C，N四點(diǎn)共圓；
∴∠CDN=∠CON=2∠CAB=2∠CDB
∴BD平分角∠CDN
又∵∠DCN=∠DOA=2∠DBA=2∠DCA
∴AC平分角∠DCN
∴M為△DCN的內(nèi)心
∴$∠MND=\frac{1}{2}∠DNC=\frac{1}{2}∠DOC=∠DAC$
∴M，N，A，D四點(diǎn)共圓
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠MNA=∠ADM=90°，
∴MN⊥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四點(diǎn)共圓，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，角平分線，四點(diǎn)共圓的判定及三角形內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，得出O，D，C，N四點(diǎn)共圓．