Question

2．如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB=$\sqrt{2}$，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩條直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積．則陰影部分的面積即為以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積的2倍．

解答 解：在Rt△ADC中，AC²=AD²+DC²，AD=DC，
∴AC²=2AD²，
∴DC=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
同理；CF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，AB=$\sqrt{2}$，
S_陰影=S_△ADC+S_△BFC+S_△AEB=$\frac{1}{2}$DC•AD+$\frac{1}{2}$CF•BF+$\frac{1}{2}$AE•BE，
=$\frac{1}{4}$（AC²+BC²+AB²）
=$\frac{1}{4}$（AB²+AB²）
=$\frac{1}{4}$×2AB²
=$\frac{1}{2}$AB²
=$\frac{1}{2}$×2
=1；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、三角形面積的計(jì)算方法；難度適中，解題關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理證明三個(gè)等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系．