Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)（x>0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A.

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由.

（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②反比例函數(shù)（x>0）圖象上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的，若存在，直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）由⊙始終與軸相切，得，由⊙始終與軸相切于點(diǎn)，得，易得出四邊形是矩形，再有圓的兩半徑，可得四邊形是正方形.

①由四邊形是菱形可得：，求三點(diǎn)的坐標(biāo)，只要求出菱形的邊長(zhǎng)即圓的半徑，問(wèn)題就迎刃而解了.可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作，則，，由勾股定理得，即，解方程求出的值，在利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出求三點(diǎn)的坐標(biāo).

②、如下圖，根據(jù)（2）①可求菱形的面積的，即.由于點(diǎn)是兩定點(diǎn)，若上存在點(diǎn)使，那么無(wú)論點(diǎn)在何位置都是與同底等高的三角形，由圖可以看出有兩種情況：即點(diǎn)分別位于的左、右兩側(cè)時(shí)，與的面積相等。因此可以過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，該平行線與雙曲線的交點(diǎn)即點(diǎn)的位置，由于先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求直線的解析式，最后用雙曲線與直線的解析式構(gòu)建方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）解：四邊形為正方形

∵⊙與軸相切

∴

∵與軸相切與于點(diǎn)

∴

∵

∴四邊形是矩形

∵

∴四邊形是菱形

∴四邊形是正方形.

①解：∵四邊形是菱形

∴

∴和是等邊三角形

∴

過(guò)點(diǎn)作,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則

∵在中，

∴

解得：

∴

∴

∵點(diǎn)在第一象限

∴

∴，，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

②存在點(diǎn)使的面積等于菱形面積的，

點(diǎn)的坐標(biāo)是或.

考點(diǎn)：1、正方形的判定.2、菱形的性質(zhì).3、平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.