Question

8．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（2，1），點M（m，n）（0＜m＜2）是該函數(shù)圖象上一動點，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B，過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)∠OAM=90°時，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入y=$\frac{k}{x}$中求出k的值即可；
（2）先證明Rt△AMD∽Rt△OAC得到（n-1）：2=（2-m）：1，再利用點M（m，n）在y=$\frac{2}{x}$的圖象上得到n=$\frac{2}{m}$，然后解關(guān)于m的方程求出m，從而可得到M點的坐標．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2×1=2，
所以反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵∠OAM=90°，
∴∠MAD+∠CAO=90°，
而∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠MAD，
∴Rt△AMD∽Rt△OAC，
∴AD：OC=MD：AC，即（n-1）：2=（2-m）：1，
∴n-1=4-2m，
∵點M（m，n）在y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴n=$\frac{2}{m}$，
∴$\frac{2}{m}$-1=4-2m，
整理得2m²-5m+2=0，解得m₁=$\frac{1}{2}$，m₂=2（舍去），
∴n=4，
∴點M的坐標為（$\frac{1}{2}$，4）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：先設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）；再把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；接著解方程，求出待定系數(shù)；然后寫出解析式．解決（2）小題的關(guān)鍵是證明Rt△AMD∽Rt△OAC，利用相似比建立m與n的關(guān)系式．