Question

“勾股弦”后人概括為“勾3、股4、弦5．”
（1）觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，發(fā)現這幾組勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，計算

1

2

（9-1），

1

2

（9+1）；

1

2

（25-1），

1

2

（25+1）；并根據你發(fā)現的規(guī)律，分別寫出能表示7、24、25這一組數的股與弦的算式．
（2）根據（1）的規(guī)律，若用n（n為奇數，且n≥3）來表示所有這些勾股數的勾，請直接用n的代數式來表示它們的股和弦．
（3）繼續(xù)觀察：4、3、5；6、8、10；8、15、17；…，發(fā)現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．利用類似上述探索的方法，若用m（m為偶數，且m≥4）來表示所有這些勾股數的勾，請分別用m的代數式來表示它們的股和弦．

Answer 1

分析：（1）通過計算，發(fā)現規(guī)律為：股是勾的平方減1的一半，弦是勾的平方加1的一半，從而寫出結果；
（2）由（1）可知，用n來表示所有這些勾股數的勾，則其股是n的平方減1的一半，弦是n的平方加1的一半；
（3）根據以上探索規(guī)律，偶數開頭的各組數字，其股是勾的平方的四分之一減1，其弦是勾的平方的四分之一加1．

解答：解：（1）∵

1

2

（9-1）=4，

1

2

（9+1）=5；

1

2

（25-1）=12，

1

2

（25+1）=13；
∴表示7、24、25這一組數的股與弦的算式股：

1

2

（49-1）=

1

2

（7²-1），弦：

1

2

（49+1）=

1

2

（7²+1）；
（2）用n（n為奇數，且n≥3）的代數式來表示，股：

1

2

（n²-1），弦：

1

2

（n²+1）；
（3）用m（m為偶數，且m≥4）的代數式來表示，股：

1

4

m²-1，弦：

1

4

m²+1．

點評：本題是研究勾股數，考查學生觀察、分析、類比和猜想解決問題的能力．屬于探索性題目，有利于培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力．