Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a²x+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．已知OA=1，OC=OB．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接CD，DB，求四邊形OCDB的面積的最大值，并求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E是該拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，再過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，得到矩形EFGH，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長．

Answer 1

分析 （1）首先求得C的坐標(biāo)，則B的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）設(shè)出D的坐標(biāo)，則利用D的坐標(biāo)即可表示出四邊形的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，則D的坐標(biāo)即可求得；
（3）根據(jù)E和F關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，然后利用正方形的性質(zhì)即可列方程求解．

解答 解：（1）在y=a²x+bx+4中令x=0，則y=4，則C的坐標(biāo)是（0，4），
∵OC=OB，
∴B的坐標(biāo)是（4，0）．
把（4，0）（-1，0），代入y=a²x+bx+4得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a-\\;b+4=0}\\{16\\;a+4\\;b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a=-1}\\{\\;b=3}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是：y=-x²+3x+4；
（2）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4\\;k+\\;b=0}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
解得：{，$\left\{\begin{array}{l}{\\;k=-1}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=-x+4．
設(shè)D（m，-m²+3m+4），
作DE⊥x軸于點(diǎn)E．
則S_{四邊形OCEB}=S_梯形OCDE+S_△BED=$\frac{1}{2}$【4+（-m²+3m+4）】m+$\frac{1}{2}$（4-m）（-m²+3m+4）
=-2（m-2）²+14，
則當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+4=2，則D的坐標(biāo)是（2，6），此時(shí)S的最大值是14；
（3）拋物線的對(duì)稱軸是x=$\frac{3}{2}$，
設(shè)正方形的邊長是n，則E的坐標(biāo)是2（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{3}{2}$，n），
代入y=-x²+3x+4得：-（$\frac{\\;n}{2}-\frac{3}{2}$）²+3×（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$）+4=n，
解得：n=4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$（舍去）．
則正方形的面積是（4+2$\sqrt{5}$）²=36+16$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，把求四邊形的面積最大值的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題是解決本題的關(guān)鍵．