Question

18．如圖1，正方形ABCD的邊長為4，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k＞0）$的圖象與CD交于E點(diǎn)，與CB交于F點(diǎn)．

（1）求證：AE=AF；
（2）若△AEF的面積為6，求反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，將△AEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖2，設(shè)它與正方形ABCD的重疊部分面積為S，請(qǐng)求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜4）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得出DE=BF，故可得出結(jié)論；
（2）設(shè)DE=BF=a，則CE=4-a，CF=4-a，再由S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADE-S_△ABF-S_△ECF即可得出a的值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)（2）中EF兩點(diǎn)的坐標(biāo)用t表示出AB，BG，CE=CK的長，再分0＜t≤2與2＜t＜4兩種情況進(jìn)行討論．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)E、F均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，
∴AD•DE=AB•BF．
∵AD=AB，
∴DE=BF．
在△ADE與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠ADE=∠ABF\\ DE=BF\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF；

（2）解：設(shè)DE=BF=a，則CE=4-a，CF=4-a，
∵△AEF的面積為6，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADE-S_△ABF-S_△ECF
=4×4-$\frac{1}{2}$×4a-$\frac{1}{2}$×4a-$\frac{1}{2}$（4-a）（4-a）
=16-4a-$\frac{1}{2}$（4-a）（4-a）
=6，
解得a=2，
∴EF=2×4=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（3）解：當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1所示，
∵由（2）知E（2，4），F(xiàn)（4，2），
∴A′B=4-t，BG=$\frac{1}{2}$AB=2-$\frac{1}{2}$t，CE=CK=2-t，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_{△梯形AA′ED}-S_△ABG-S_△ECK
=4×4-$\frac{1}{2}$×（2+t+t）×4-$\frac{1}{2}$（4-t）•（2-$\frac{1}{2}$t）-$\frac{1}{2}$（2-t）（2-t）
=16-4-4t-$\frac{1}{4}$t²-4+2t-2-$\frac{1}{2}$t²+2t
=-$\frac{3}{4}$t²+6．
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖2所示，
過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則EH=4，AH=2，BF=2，AB=4，
∵△AEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向平移，
∴AE∥A′E′，AF∥A′B′，
∴$\frac{EH}{AH}$=$\frac{K′B}{A′B}$，即$\frac{4}{2}$=$\frac{K′B}{4-t}$，解得K′B=2（4-t）=8-2t；
同理，$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BG′}{A′B}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{BG′}{4-t}$，解得BG′=2-$\frac{t}{2}$，
∴S=S_△A′G′K′=$\frac{1}{2}$G′K′•A′B=$\frac{1}{2}$（K′B-BG′）•A′B
=$\frac{1}{2}$（8-2t-2+$\frac{t}{2}$）•（4-t）
=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{3}{2}$t）•（4-t）
=$\frac{3}{4}$t²-6t+12．
故S=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{4}{t}^{2}+6（0＜t≤2）\\ \frac{3}{4}-6t+12（2＜t＜4）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、正方形的性質(zhì)及梯形的面積公式等知識(shí)，在解答此題時(shí)要注意整體思想的運(yùn)用．