Question

已知：如圖，一塊三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經過點C，三角板的另一條直角邊與AD交于點Q．

(1)請你寫出此時圖形中成立的一個結論(任選一個)；

(2)當點P滿足什么條件時，有AQ+BC=CQ，請證明你的結論；

(3)當點Q在AD的什么位置時，可證得PC=3PQ，并寫出論證的過程．

Answer 1

解：(1)△APQ～△BCP．    

    (2)當P為AB中點時，有AQ+BC=CQ．

證明：連接CQ，延長QP交CB的延長線于點E．

    可證  △APQ≌△BPE．

    則  AQ=BE，PQ=PE，

    又因為  CP⊥QC，可得CQ=CE，

    所以AQ+BC=CQ．            

    (3)當AQ=AD時，有PC=3PQ．    

    證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB，

    又因為直角三角板的頂點P在邊AB上，

    所以  ∠1+∠2=180°－∠QPC=90°．

    因為  Rt△CBP中，∠3+∠2=90°，

    所以  ∠1=∠3．

    所以  △APQ～△BCP．  

    所以 .

    因為  AQ=，

    所以 .

    所以  AP=AB，或AP= (不合題意，舍去)． 

    所以  .

    所以PC=3PQ．