Question

如圖1，在△ABC中，點D為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B、D在直線a的異側，BE⊥直線a于點E，CF⊥直線a于點F，連接DE、DF．

（1）延長ED交CF于點G（如圖2）．①求證：△BDE≌△CDG；②DE=DF；
（2）若直線a繞點A旋轉到（圖3）的位置時，點B、D在直線a的同側，其它條件不變，此時DE=DF成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由BE⊥直線a于點E，CF⊥直線a就可以得出BE∥CF，就可以得出∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC，就可以由得出AAS得出△BDE≌△CDG；
②由△BDE≌△CDG就可以得出DE=DG，由直角三角形的性質就可以得出結論；
（2）延長ED交FC的延長線于點G，根據(jù)條件可以得出證明△BDE≌△CDG就可以得出ED=DG，由直角三角形的性質就可以得出結論．

解答：解：（1）①∵BE⊥直線a，CF⊥直線a，
∴BE∥CF，
∴∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC．
∵點D為BC邊中點，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

∠EBD=∠GCD ∠DEB=∠DGC BD=CD

，
∴△BDE≌△CDG（AAS）；
②∵△BDE≌△CDG，
∴ED=GD．
∵CF⊥直線a，
∴∠CFE=90°，
∴DF=

1

2

EG．
∴DE=DF；
（2）DE=DF成立
理由：延長ED交FC的延長線于點G，
①∵BE⊥直線a，CF⊥直線a，
∴BE∥CF，
∴∠EBD=∠GCD，∠DEB=∠DGC．
∵點D為BC邊中點，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

∠EBD=∠GCD ∠DEB=∠DGC BD=CD

，
∴△BDE≌△CDG（AAS）；
∴ED=GD．
∵CF⊥直線a，
∴∠CFE=90°，
∴DF=

1

2

EG．
∴DE=DF．

點評：本題考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質的運用，全都三角形的判定及性質的運用，平行線的性質的運用，解答時證明三角形的全等是關鍵．