Question

16．菱形ABCD的邊長為4，∠B=60°，F(xiàn)、H分別是AB、CD的中點，E、G分別在AD、BC上，且AE=CG．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當四邊形EFGH是菱形時，求AE的長；
（3）當四邊形EFGH是矩形時，求此時點E到點A的距離．

Answer 1

分析 （1）由于四邊形ABCD是菱形，易得∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，結(jié)合AF=CH，AE=CG，利用SAS可證△AEF≌△CGH，于是EF=GH，而AB=CD，AD=BC，利用等式性質(zhì)易得BF=DH，BG=DE，再利用SAS可證△BGF≌△DEH，于是GF=EH，易證四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）根據(jù)矩形的判定即可求得；
（3）根據(jù)菱形的判定可知EG過O且垂直FH，進而得出EG⊥AD，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得AC=4，AO=2，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，
∵F，H分別是AB，CD的中點，
∴AF=CH，
在△AEF與△CGH中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CH}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AE=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
∵AB=CD，AD=BC
∴BF=DH，BG=DE，
同理證得△BGF≌△DEH，
∴GF=EH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）解：如圖，若?EFGH為菱形，
只需要EG過O且垂直FH，即EG⊥AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=4，
∴AO=2，
∵∠CAD=60°，則∠AOE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AO=1
（3）解：如圖，若?EFGH是矩形
只需要對角線相等，即EG=FH=4，
只需E與G是所在邊中點即可，
∴AE=2；
即點E到點A的距離為2．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形，對角線垂直平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形．