Question

如圖，AO是邊長為2的等邊△ABC的高，點D是AO上的一個動點（點D不與點A、O重合），以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE，連結(jié)BE并延長，交AC的延長線于點F．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）當△CEF為等腰三角形時：
①求∠ACD的度數(shù)；
②求△CEF的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△CDE是等邊三角形，用“SAS”證得△ACD≌△BCE；
（2）①由（1）得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒為直角三角形，且∠F=30°，CF=CB=2，又因為點D不與點A、O重合，可得當△CEF為等腰三角形時，∠F只能為頂角，繼而求得答案；
②首先作CP⊥BF于點P，由∠CBE=30°，求得CP的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）①∵AO是邊長為2的等邊△ABC的高，
∴∠CAO=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠ABF=90°，
∴∠F=90°-∠BAF=30°，
∴CF=CB=2，
又∵點D不與點A、O重合，
∴當△CEF為等腰三角形時，∠F只能為頂角，
∴∠FCE=75°，
∴∠ACD=∠BCE=120°-75°=45°；

②作CP⊥BF于點P，由∠CBE=30°，
得CP=

1

2

BC=1，
又∵CF=EF=2，
∴S_△CEF=

1

2

×2×1=1．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．